(a)既約ピタゴラス数(a, b, c は互いに素である)の a と b はどちらか一方が 3 の倍数であることを示せ。
a と b を共に 3 の倍数でないと仮定します。
a^2 = 3m + 1 b^2 = 3n + 1
となります。
ここを丁寧に解説すると、
すべての整数を 3 で割ると、
余りが 0 になる 余りが 1 になる 余りが 2 になる
に必ず分類することができます。
どれだけ気の遠くなるような大きな数であっても、この 3 つしかありません。
それぞれ
3k 3k + 1 3k + 2
と表すことができます。
さらにこれを平方します。
(3k)^2 = 3 * 3n^2 (3k + 1)^2 = 3 * (3n^2 + 2n) + 1 (3k + 2)^2 = 3 * (3n^2 + 4n + 1) + 1
となります。
このことから、3 の倍数でない数を平方して、3 で割ると必ず余り 1 となる事がわかります。
余り 2 になることは絶対にありません。
数論を学習するにおいて、とても重要な事を書きます。
すべての平方数を 3 で割ると余りは 0 か 1 になります。
余りが 2 になることはありません。
なので、a と b を 3 の倍数でないとしたので、
a^2 = 3m + 1 b^2 = 3n + 1
と表せるわけです。
では次に進みます。
a^2 + b^2 = c^2 の左辺を計算します。
a^2 + b^2 = (3m + 1) + (3n + 1) = 3 * (m + n) + 2
計算の結果から a^2 + b^2 を 3 で割ると余りが 2 になる事がわかります。
しかし、a^2 + b^2 = c^2 の右辺 c^2 は平方数なので、3 で割ると余りは 0 か 1 になります。
2 になる事は絶対にありません。
ここで、左辺は 3 で割ったとき余りが 2、右辺は 3 で割ったときに余りが 0 か 1 ですから、
a^2 + b^2 = c^2
は矛盾してしまいます。
つまり初めに仮定した「a と b を共に 3 の倍数でない」は間違いだとわかります。
また、既約ピタゴラス数は a, b, c が互いに素なので、a と b の両方が 3 の倍数にはなれません。
よって、
a と b はいずれか一方が 3 の倍数です。
(b)既約ピタゴラス数(a, b, c は互いに素である)の a, b, c のいずれかが 5 の倍数であることを示せ。
これも似たような感じでできます。
a, b, c 共に 5 の倍数でないと仮定します。
すべての整数を 5 で割ると、
余りが 0 になる 余りが 1 になる 余りが 2 になる 余りが 3 になる 余りが 4 になる
の 5 通りに分類されます。それぞれ
5k 5k + 1 5k + 2 5k + 3 5k + 4
と表すことができます。それぞれを平方してみます。
(5k)^2 = 5 * 5k^2 (5k + 1)^2 = 5 * (5k^2 + 2k) + 1 (5k + 2)^2 = 5 * (5k^2 + 4k) + 4 (5k + 3)^2 = 5 * (5k^2 + 6k) + 4 (5k + 4)^2 = 5 * (5k^2 + 8k) + 1
以上から、5 で割り切れない平方数を 5 で割ったときの余りは 1 か 4 になります。
右辺の c^2 は 5 の倍数ではないと仮定したので、5 で割ったときの余りは 1 か 4 です。
今回は余りのパターンが 1 と 4 があるので、左辺はすべての組み合わせを考えます。
a^2 = 5m + 1 b^2 = 5n + 1
のとき、
a^2 + b^2 = (5m + 1) + (5n + 1) = 5 * (m + n) + 2
左辺の余りは 2 になるので矛盾します。
a^2 = 5m + 1 b^2 = 5n + 4
のとき、
a^2 + b^2 = (5m + 1) + (5n + 4) = 5 * (m + n + 1)
左辺の余りは 0 になるので矛盾します。
a^2 = 5m + 4 b^2 = 5n + 1
のとき、
a^2 + b^2 = (5m + 4) + (5n + 1) = 5 * (m + n + 1)
これも左辺の余りは 0 になるので矛盾します。
a^2 = 5m + 4 b^2 = 5n + 4
のとき、
a^2 + b^2 = (5m + 4) + (5n + 4) = 5 * (m + n + 1) + 3
左辺の余りは 3 になるので矛盾します。
すべてのパターンで
a^2 + b^2 = c^2
が矛盾することがわかりました。
つまり、初めに仮定した「a, b, c 共に 5 の倍数でない」は間違いです。
また、既約ピタゴラス数は a, b, c が互いに素なので、a, b, c の組み合わせで 5 の倍数が 2 つ以上あってはいけません。
よって、
a, b, c のいずれか 1 つが 5 の倍数です。
