技術士試験平成29年度の問題の解説をしてみる(2)

解説サイトを見ていると「なんでそうなるのか」の説明が

端折られていて、悩む事が多いです。

平成２９年度の基礎科目 I-3-1 は二階微分に関する問題なのですが、

二階微分を完璧に理解している人用の解説だったりするんですよね。

そういう人はそもそも解説サイト見ないのでは？と思うので、

丁寧に解説してみたいと思います。

問題は日本技術士会のホームページで公開されていますので、

そちらを参照してください

www.engineer.or.jp

平成２９年度の基礎科目 I-3-1 です。

問題を解く前に、微分の記法に関しては発案者が同時多数存在して、

いろいろな記法があってカオスな状態になっている（現在も継続中）

という事実を知る必要があります。

ja.wikipedia.org

さて次に、この問題がわからない人はまず

$\frac{d^{2}u}{dx^{2}}$

この式の意味がわからないですよね。

これは二階微分の記法です。

簡単に説明すると、二階微分とは、関数の導関数をさらに微分したものです。

ja.wikibooks.org

次は、「添字 i は格子点を表すインデックス」についてです。

これは二階微分する地点と考えてください。

$... u _ {i-2}$ , $u _ {i-1}$ , $u _ {i}$ , $u _ {i+1}$ , $u _ {i+2} ...$

さらに次は、「格子幅 h」です。

これは i と i+1 または i-1 の間隔が h だと言うことです。

添字 i (格子点を表すインデックス) を使って、隣り合う格子点同士の

格子幅 (格子点と格子点の幅) h を限りなく 0 に近づけていくことが

「微分する」という事です。

最初の式

$\frac{d^{2}u}{dx^{2}}$

は、

${u _ {i}}''={\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{{u _ {i+1}}'-{u _ {i}}'}{h}}={\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{{u _ {i}}'-{u _ {i-1}}'}{h}}$

のように書けます。*1

あとは、

${u _ {i}}''={\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{{u _ {i}}'-{u _ {i-1}}'}{h}}$

の式を使用して、 ${u _ {i}}'$ と、 ${u _ {i-1}}'$ がわかれば良いわけです。

(このあたりは定数を調整して因数分解する時みたいに、都合が良い方へ誘導する感じ？です。)

${u _ {i}}'={\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{u _ {i+1}-u _ {i}}{h}}$

${u _ {i-1}}'={\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{u _ {i}-u _ {i-1}}{h}}$

よって、

${u _ {i}}''={\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u _ {i+1}-u _ {i}}{h}-\frac{u _ {i}-u _ {i-1}}{h}}{h}}={\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{u _ {i+1}-u _ {i}-(u _ {i}-u _ {i-1})}{h^2}}={\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{u _ {i+1}-2u _ {i}+u _ {i-1}}{h^2}}$

となります。*2

差分表現は $\lim_{h \to 0}$ が付かない式の部分のことを言うので、

(5) が正解です。

*1:h は 0 に限りなく近づくので、大きい値から小さい値を引くのを守れば問題ないはず。たぶん。間違ってたら指摘してください。

*2:tex 表記のデバッグが大変で死にそうｗ