暇シリーズ

問題1.40
newtons-methodの手続きと一緒に

(newtons-method (cubic a b c) 1)

の形の式で使い、三次式 x3 + ax2 + bx + c の零点を近似する手続き cubic を定義せよ。

本文に、
変換 x → g(x) が微分可能な関数であれば、方程式 g(x) = 0の解は
f(x) = x - \dfrac{g(x)}{Dg(x)}
である。
とあるとおり、これを実装したものが newton-transform 手続きです。

(define (newton-transform g)
  (lambda (x) (- x (/ (g x) ((deriv g) x)))))

本文そのままですが、Dg(x) は微分するための手続きで、
Dg(x) = \dfrac{g(x + dx) - g(x)}{dx}
と定義できますから、dx を 0.00001 とすれば

(define dx 0.00001)

(define (deriv g)
  (lambda (x)
    (/ (- (g (+ x dx)) (g x))
       dx)))

と実装できます。
以上を踏まえれば cubic は以下のように実装できます。

(define (cubic a b c)
  (lambda (x) (+ (* x x x) (* a x x) (* b x) c)))

実行してみます。

gosh> (newtons-method (cubic 1 1 1) 1)
-0.9999999999997796

x^3 + x^2 + x + 1
この式の解が 0 になる点が不動点ですから、
x^3 + x^2 + x + 1 = 0
因数分解すると
(x+1)(x ^ 2 + 1) = 0
です。この式を解くと、
x = -1, x^2 = -1
となります。(2つめは虚数解になるので「解なし」です。)
よって解は、
x = -1
のみです。合ってますね。

ついでに、

(define (func a b c)
  (lambda (x) (+ (* a x x) (* b x) c)))

のような func 手続きを定義して、
x^2 - x - 1 = 0
を計算してみます。この式は黄金比の方程式です。

gosh> (newtons-method (func 1 -1 -1) 1)
1.618033988752065

このように黄金比を求めることができます。